中文的因数、因子、约数都是一个意思，也就是英文中的factor，或者叫divisor。这个概念大概是在国内小学五年级开始讲授，因为长期不再接触，所以很多备考g类考试（GRE和GMAT）的同学在这部分理解可能会出现问题，尤其是还有一些题目不算简单。
先介绍一下概念：
8/4=2，余数为0，也就是8 is divisible by 4（8可以被4整除）, then 8 is a multiple of 4, and 4 is a factor of 8.
8 has 8 factors,1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8.
多数考生不了解因数可以为负值，不过幸运的是考试很少会出现，至少我还没有遇到过。
为了方便接下来的讲解，再说明一下质数(prime numbers)和合数(composite numbers)的概念。
中文中的质数又称素数，A prime number is an integer greater than 1 that has only two positive divisors: 1 and itself. The first five prime numbers are 2, 3, 5, 7,and 11.
（来自GRE 官方指南）
而在大于1的整数范围内，不是质数，就是合数，也就是除了能够被1和它本身整除以外，还可以被其他的正整数整除，the first five composite numbers are 4, 6, 8, 9 and 10.
所以8 has 8 factors, 4 of which are positive, and 2 is the only prime factor of 8.
分解质因数(prime factorizations)在做题过程中比较常用，也就是把一个合数(composite number) 拆分成质因数相乘的形式。每一个合数分解质因数后，都只有一种形式，比如10=(2)(5),120=(2)(2)(2)(3)(5)
“由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个数质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样”－－黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）
所以很多时候，当我们看到题干中一个比较大的合数在那里放着，却没有什么解题思路时，分解质因数不妨是一个可以尝试的方法。
我先出几道题，大家来消化一下概念。（下面紧跟着答案，大家慢点翻）
1. How many positive factors does 10 have?
2. How many different prime factors does 10 have?
3. What is the greatest prime factor of 10?
4. How many positive factors do 10 and 15 have in common?
5. What is the greatest common factor of 10 and 15?
6. What is the least common factor of 10 and 15?
答案分别是：
1. 4个，分别是1，2，5，10
2. 2个，分别是2和5
3. 5
4. 2个，分别是1和5
5. 5（公因数有1和5，所以5最大）
6. 30（公倍数有无数多个，30最小。注：倍数因数可以为negative，但是公约数和公倍数要求是positive integers）
接下来说一下greatest common factor and least common multiple 的寻找方法：
如上面的10和15，因为两个数字较小，列举的话也可以找到，不过这里推荐一种比较通用的方法——分解质因数。
10=(2)(5)
15=(3)(5)
从质因数的角度看，我们发现两者的greatest common factor就是5；而作为common multiple, 就必须具备两者所有的prime factors，即2*3*5，并且这样已经够了。
换两个大的整数，60和72：
60=(2)(2)(3)(5)
72=(2)(2)(2)(3)(3)
两者共同具备的有2和3，2最多公有两个，3最多只有一个，所以the greatest common factor of 60 and 72 is (2)(2)(3)，也就是12。
两者所有的质因数有2、3、5，而作为倍数，一定要包含指数最大次方，才能同时构成这两个数字共同的倍数，所以the least common multiple of 60 and 72 is (2)(2)(2)(3)(3)(5)，也就是360。
因此在我们的讲义中常用的求解步骤是：
第一步：对已知几个数字进行分解质因数；
第二步：找公有质因数，且找指数最小次方相乘，得到最大公约数；找所有不同质因数，且找各自指数最大次方相乘，得到最小公倍数。
具体的考题大家可以看一下下面的题目（下面紧跟着答案，大家慢点翻）：
答案分别是：
1.33 2.AC 3.E 4.E 5.D
所以我们可以总结，在以上题目中可以使用分解质因数来进行解题，包括（但不限于）：
1. 看一个分数是否可以转化成有限小数；
2. 求解（最大）公约数、（最小）公倍数；
3. 确定一个数字是否是另外一个数字的倍数（即因数倍数关系的确定）；
4. 一个数字是否是一个整数的次方；
5. 求解一个整数的因数个数。
8/4=2……0，余数为0，所以8是4的倍数，而7/4=1……3，出现了余数大于0的情况，所以7 is not a multiple of 4, 关于“余数”的概念和考题我们下次再说。
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