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高中数学:三角函数公式大全

作者: 网编整理 丨来源:网络 发布时间:2020-04-16

  两角和与差的三角函数:

  sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

  sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?

  cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

  cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

  tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

  tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

  cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

  cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

  三角和的三角函数:

  sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

  cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

  tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

  辅助角公式:

  Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

  sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

  cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

  tant=B/A

  Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

  倍角公式:

  sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

  cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

  三倍角公式:

  sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

  cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

  半角公式:

  sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

  cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

  tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

  降幂公式

  sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

  cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

  tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

  万能公式:

  sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

  cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

  tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

  积化和差公式:

  sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

  cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

  cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

  sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

  和差化积公式:

  sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

  cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

  推导公式:

  tanα+cotα=2/sin2α

  tanα-cotα=-2cot2α

  1+cos2α=2cos^2α

  1-cos2α=2sin^2α

  1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

  其他:

  sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

  cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及

  sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

  tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

  函数名正弦余弦正切余切正割余割

  在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有

  正弦函数sinθ=y/r

  余弦函数cosθ=x/r

  正切函数tanθ=y/x

  余切函数cotθ=x/y

  正割函数secθ=r/x

  余割函数cscθ=r/y

  正弦(sin):角α的对边比上斜边

  余弦(cos):角α的邻边比上斜边

  正切(tan):角α的对边比上邻边

  余切(cot):角α的邻边比上对边

  正割(sec):角α的斜边比上邻边

  余割(csc):角α的斜边比上对边

  三角函数万能公式

  (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

  (2)1+(tanα)^2=(secα)^2

  (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

  证明下面两式,须将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

  (4)对于任意非直角三角形,总有

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  证:

  A+B=π-C

  tan(A+B)=tan(π-C)

  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

  整理可得

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  得证

  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

  由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

  (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

  (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

  (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

  (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

  万能公式为:

  设tan(A/2)=t

  sinA=2t/(1+t^2)(A≠2kπ+π,k∈Z)

  tanA=2t/(1-t^2)(A≠2kπ+π,k∈Z)

  cosA=(1-t^2)/(1+t^2)(A≠2kπ+π,且A≠kπ+(π/2)k∈Z)

  就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,值就很好求了.

  两角和差公式

  sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

  sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

  cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

  cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

  tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

  tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

  二倍角的正弦、余弦和正切公式

  sin2α=2sinαcosα

  cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

  tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)

(责任编辑:李远航)

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