求2y''+y'-y=0通解,特征方程2r2+r-1=0,(2r-1)(r+1)=0,r=1/2或r=-1,通解Y=C1e^(x/2)+C2e^(-x),1不是特征根,设原方程特解y*=Ae^x,则y*'=y*''=Ae^x,代入2Ae^x=2e^x,A=1,故y*=e^x,通解为y=Y+y*。
举例说明
求微分方程2y''+y'-y=0的通解
先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解
特征方程为2r2+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r=1/2或r=-1
故通解为Y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)
因为1不是特征根,所以设原方程的特解为y*=Ae^x
则y*'=y*''=Ae^x
代入原方程得,2Ae^x=2e^x
A=1
故y*=e^x
所以原方程的通解为y=Y+y*
即y=C1e^(x/2)+C2e^(-x)+e^x
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