余数(remainders)，用通俗的语言翻译为“剩下的东东”。

　　有同学对余数理解不深，可能就是把remainder当作了纯数学的概念，理解起来可能比较费劲，或者容易和没有余数的除法混淆，如果联系实际进行解读，可能更方便。

　　比如7个人站排，每排站3个人，这样的话最多站2排，剩余一个人；

　　7个苹果分给3个孩子，每个孩子最多分2个，剩余一个；

　　而7升水，分给3个人，每个人可以分7/3升，不剩……

　　所以remainder经常是解决那些没法整分的东西，人不能劈开，苹果假设不切开，而水是可以自由分割的。

　　If an integer is divided by a nonzero integer d resulting in a quotient q with remainder r, then n=qd+r, where 0≤ r <?d?. Furthermore, r=0 if and only if n is a multiple of d.

　　所以实际上余数和因数倍数有很大关系，涉及到余数的运算，比如一个代数式除以一个整数，求解余数是多少，假设大家通过试数的办法发现余数一直是0，想要证明，那就相当于要说明这个代数式是该整数的倍数，如：

　　例1: If n is a positive odd number, what is the remainder when n^2-1 is divided by 8?

　　Indicate all such numbers.

　　A.    0

　　B.    1

　　C.    2

　　D.    4

　　方法一

　　试数法（plugging in numbers）

　　if n=1, 0/8 is 0 remainder 0;

　　if n=3, 3^2-1=8 divided by 8 is 1 remainder 0, too;

　　if n=5, 5^2-1=24 divided by 8 is 3 remainder also 0.

　　方法评价：

　　如果大家考场时间有限，这种方法虽然不严谨，且有错误的风险，但却是一种“性价比”比较高的应试方法。

　　方法二

　　证明

　　For n is odd, n could be written as 2k+1, where k is a positive integer, so

　　n^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k=4k(k+1),

　　If k is odd, then k+1 is even, and 4k(k+1) would be multiple of 8;

　　If k is even, then 4k(k+1) would directly be multiple of 8.

　　So, we can say that n^2-1 is multiple of 8 where n is odd.

　　方法评价：

　　该方法比较严谨，不过可能对于一些长时间没有练习初等数学证明的同学难度偏高，也更耗费时间，大家根据自身情况进行选用，不过建议在平时练习的时候多使用类似的方法。

　　通过上面的证明我们也可以得出一个结论，由于n^2-1=(n+1)(n-1), for n is odd,  (n+1) and (n-1) must be two consecutive even numbers, so we can conclude that the product of two consecutive even numbers is multiple of 8.

　　Another rule, the product of three consecutive integers is multiple of 6, 不过有意思的是，官方出题一般让我们选和3相关的代数式，比如我之前在gre考试中考过一道题：

　　which of following number must be a divisor of (n^2-1)(n), where n is a positive integer?

　　孙瑜老师之前考试也遇过基本一样的考题。

　　在gmat 官方指南中也有一道变体：

　　note 1: 在余数的运算过程，除了余数本身，其他的值都可以是负整数

　　比如：-21/8=-3...3

　　note 2: 被除数也可以小于除数，比如：3/7=0...3

　　remainder的意思就是剩下的，比如3个苹果给7个孩子分配（前提不允许切苹果、更不允许杀生），那么就没办法分，只能不给，于是3个苹果就都剩下，所以切记不要等于3/7，那相当于用水果刀切苹果，就比如我们不会说7/3=7/3余数是0，而是等于2，余数是1，道理相同。

　　关于余数的解题方法，有两种较为常用，上面也用过，一是试数；二是利用“反向对被除数进行表达”来证明。比如：

　　if the remainder is 3 when positive integer x is divided by 8, what is the remainder when 2x is divided by 8?

　　方法一

　　试数法

　　x=8k+3, if k=0, then x=3, 2x=6, and the remainder is 6 when 6 is divided by 8; if k=1, then x=11, 2x=22, and the remainder is also 6 when 22 is divided by 8. So, we can guess that the remainder is always 6 when 2x is divided by 8.

　　方法二

　　证明法

　　x=8k+3, so 2x=2(8k+3)=16k+6. When 16k+6 is divided by 8, for 16k is divisible by 8, so the number 6 remains.

　　方法评价：

　　试数法仍旧有不严谨的缺点，虽然正确的概率比较大，不过由于证明的方法并不复杂，建议考生掌握。

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