01

　　集合(SETS)

　　1.概念

　　集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，而这些对象称为集合内部的元素(members or elements)。比如实数(real numbers)集合，就是包含所有实数的集体，每一个实数都属于集合内部的元素；比如整数(integers)集合，就是包含所有整数的集体，每一个整数也都是这个集合的元素。

　　2.特殊集合及集合关系

　　空集(empty set)：如果集合内部不包含任何元素，我们称为空集。

　　如果两个集合A和B，A中的元素在B中都可以找到，则称A是B的子集(subset)，如整数集合就是实数集合的子集

　　如果两个集合A和B，A中的元素在B中的都一样，则称A是B是相等的集合

　　如果两个集合A和B，元素之间没有相同的，则称A是B集合是互斥关系(disjoint or mutually exclusive)，如{1, 3, 5} 和 {2, 4, 6}

　　3.交并集

　　A和B的交集(intersection)，表示成

　　指的是两个集合同时拥有的元素组成的集合，如{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集就是{2, 3}

　　A和B的并集(union)，表示成

　　指的是两个集合拥有的所有元素组成的集合，如{1, 2, 3}{2, 3, 4}的并集就是{1, 2, 3, 4}?

　　4.韦恩图(Venn diagram)

　　韦恩图是用于显示元素产生的交并集的图示，由19世纪英国哲学家和数学家John Venn 在1881年发明。Venn Diagram一般用于产生交集的同类集合的情景当中，如一个班级当中40%的学生喜欢篮球，30%的学生喜欢足球，20%的学生两种运动都喜欢，这时两种运动的交集就是20%，并集就是40%+30%-20%=50%，那么因此，两种运动都不喜欢的人就是另外的50%；如一次调查，80%的人使用a产品，60%的人使用b产品，20%的人喜欢c产品等。

　　韦恩图在考试中以两个集合的考题居多，有时会考三个集合，难度就增高了，因为不仅有两个集合交集的地方，还可能有三个集合交集的地方。

　　图1

　　如图1，绿色区域和其他集合无交集，黄色区域是两两相交的地方，中间紫色区域是三个集合的交集，如果把abc三个集合的元素总数加起来，那么显示“2”的地方就是算了2遍，显示“3”的地方就是算了3遍，而题干中给的条件经常是a交b，也就是其中一个2和3的橄榄球型区域，这个是需要注意仔细读题的。

　　两个集合的韦恩图并集公式：

　　三个集合的韦恩图并集公式：?

　　最后再加回来三个集合交集的地方是因为之前加了三遍，又减了三遍，所以还需要算回来一遍。

　　公式注意理解记忆，不要死记硬背，因为考试可能出现各种变体，也就是求不同的集合区域。

　　Example 1: In a certain university, 50% of all students take Spanish and 56% of all students take French. If 25% of the students taking French also take Spanish, what percent of all students take neither Spanish nor French?

　　Example 2: In a certain class, there are only 10 students, 8 students take A, 6 students take B, 7 students take C, 1 student takes all these three subjects, no students take none of them, what is the number of students who take at least two of subjects?

　　5.表格法解题

　　表格法解题一般用于对某种事物进行双维度描述。如：一个班级有喜欢篮球和不喜欢篮球的，也有成年和未成年的，这两个维度一方面是说喜好，一方面在说年龄，此时建议画表格。

　　图2

　　图2就是一个比较标准的表格，AB之间没有交集，CD之间没有交集。

　　需要注意的是，如果题干中告诉我们A占30%，那么B一般自动就是70%，C占60%，那么D自动就是40%，因为一般默认总量为100%，同时A和C的交集万不要用30%*60%，而是要根据题意填写，这个地方不同于接下来要讲解的独立事件的概率求解。

　　Example 3: a shipment of banners contains banners of two different shapes, triangular and square, and two different colors, red and green. 26% of the banners are square and 35% of the banners are red. If 60% of the red banners in the shipment are square, what is the ratio of red triangular banners to green triangular banners?

　　02、概率(PROBABILITY)

　　首先介绍两种事件：

　　1.独立事件（independent events）

　　指在发生的时候彼此不受影响的事件。

　　比如抛2次硬币，两次出现正反面的情况；扔3次骰子，三次出现的数字情况，理想状态下第一次出现的事件不影响第二次出现的事件。如果使用Venn Diagram 来进行理解独立事件A和B，则是两个带有交集的圈（因为如果两件事情概率不为0，那么一定存在同时发生的可能）。交集处指同时发生的情况，可以表示A and B, 也可以写成

　　并集表示至少有一件事情发生，可以表示为A or B 或者 A or B or both，也可以写成

　　两个圈外面的代表两件事情都不发生的情况，可以用英文表示为neither a nor b.

　　同时发生的概率P(A and B)=P(A)P(B)

　　至少一件事情发生的概率P(A or B)=P(A)P(B)-P(A)P(B)=1-(1-P(A))(1-P(B))

　　如抛三次硬币，都出现正面朝上的概率=(0.5)(0.5)(0.5)=0.125

　　抛三次硬币，至少有一次出现正面朝上的概率=1-P(都是反面)=1-(0.5)(0.5)(0.5)=0.875

　　2.互斥事件（mutually exclusive events）

　　指不能同时发生的几件事。

　　比如抛一次硬币，出现正面和出现反面是互斥关系；扔一次骰子，出现奇数和出现偶数是互斥关系。

　　如果使用 Venn Diagram 来进行理解互斥事件，则是两个没有交集的圈（因为互斥事件不能同时发生）, 并集也表示至少有一件事情发生；两个圈外面同样代表两件事情都不发生的情况。?

　　同时发生的概率：P(A and B)=0

　　至少一件事情发生的概率：P(A or B)=P(A)+P(B)

　　如扔一次骰子，出现奇数朝上的概率=(1/6)+(1/6)+(1/6)=1/2

　　从1-100中，任取一个整数，刚好是5的倍数的概率为20/100=0.2

　　Example 4: Let A, B, C, and D be events for which P(A or B)=0.6, P(A)=0.2, P(C or D) = 0.6, and P(C) = 0.5. The events A and B are mutually exclusive, and the events C and D are independent.?

　　(a) Find P(B)

　　(b) Find P(D)

　　对于连续性随机变量的问题（主要指正态分布）之前有写过，大家可以移步阅读：

　　《GRE数学中你可能不知道的概念——统计概念(2)》（点击文字即可查看）

　　03

　　Exercises

　　Exercise 1:

　　For a certain probability experiment, the probability that event A will occur is 1/2 and the probability that event B will occur is 1/3. Which of the following values could be the probability that the event A U B (that is, the event A or B, or both) will occur? （来自官方）

　　Indicate all such values.

　　A.   1/3

　　B.   1/2

　　C.   3/4

　　Exercise 2: 

　　The probability that event M will not occur is 0.8 and the probability that event R will not occur is 0.6. if events M and R cannot both occur, which of the following is the probability that M or R will occur?

　　Exercise 3:

　　Exercise 4: 

　　Exercise 5: 

　　In a certain class, 10 students can play the piano, 14 students can play the violin, 11 students can play the flute. If 3 students can play exactly three instruments, 20 students can play exactly one instrument, how many students can play exactly two instruments?

　　Exercise 6: 

　　Of the students in a school, 20 percent are in the science club and 30 percent are in the band. If 25 percent of the students in the school are in the band but not in the science club, what percent of the students who are in the science club are not in the band?

　　A.   5%

　　B.   20%

　　C.   25%

　　D.   60%

　　E.    75%

　　Exercise 7: 

　　At a certain university, 60% of the professors are women, and 70% of the professors are tenured. If 90% of the professors are women, tenured, or both, what percent of the men are tenured?

　　答案

　　Example 1: 8%

　　Example 2: 10

　　Example 3: 7:30

　　Example 4: 0.4; 0.2

　　Exercise 1: BC

　　Exercise 2: 0.6

　　Exercise 3: B

　　Exercise 4: Quantity A is greater

　　Exercise 5: 3

　　Exercise 6: E

　　Exercise 7: 75%

　　04习题简析

　　Example 1: 注意题中的25%后面跟着的名词并不是所有人，而是学法语中的25%也学西语

　　Example 2: 6+7+8-1*2-x＝10, x为只学两个学科的人数，解得x＝9，所以9+1=10

　　Example 3: 画表格即可

　　Example 4: 直接套用独立事件互斥事件的公式即可

　　Exercise 1: 这道题没有说明事件类型，所以建议考虑概率极值，也就是让两个圈并集分别达到最大和最小，然后只要选项在范围内就选，并集最大是互斥关系，为1/2+1/3=5/6, 并集最小是1/3的圈在1/2的圈里面，为1/2

　　Exercise 2: 互斥事件，直接套公式，0.2+0.4=0.6

　　Exercise 3: 独立事件，quantity A要求不包含同时发生的情况，所以是r+s-2rs, quantity B的表达是包含同时发生的情况

　　Exercise 4: 要利用排列组合进行计算，quantity A列式为8选4，quantity B列式为8选5

　　Exercise 5: (10+11+14-3*3-20)/2，也就是把不要的地方全部减掉，要的地方只算一遍

　　Exercise 6: 题干中的百分比后面跟着的学生都是全校的，没问题，最终的问题求的是在sc中不是band的百分比

　　Exercise 7: 题干中的百分比也都没陷阱，最后的问题出现了类似Exercise 6的表达。

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