1、定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a

　　2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a

　　3、定理（柯西中值定理）如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

　　4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

　　5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：（1）如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加；（2）如果在(a，b)内f’(x)

　　如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

　　6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

　　在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。

　　定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：（1）如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；（2）如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

　　定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f＂(x0)≠0那么：（1）当f＂(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

　　7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

　　定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(a，b)内f＂(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的；（2）若在(a，b)内f＂(x)

　　判断曲线拐点（凹凸分界点）的步骤（1）求出f＂(x)；（2）令f＂(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；（3）对于（2）中解出的每一个实根x0，检查f＂(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f＂(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。

　　在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。